Основные элементы усеченного конуса. Конус как геометрическая фигура. Обработка конических поверхностей широким резцом

Сегодня мы расскажем вам о том, как найти образующую конуса, что частенько требуется в школьных задачках по геометрии.

Понятие образующей конуса

Прямой конус — это фигура, которая получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одно из его катетов. Основание конуса образует круг. Вертикальное сечение конуса — это треугольник, горизонтальное — круг. Высотой конуса является отрезок, соединяющий вершину конуса с центром основания. Образующей конуса является отрезок, который соединяет вершину конуса с любой точкой на линии окружности основания.

Так как конус образуется вращением прямоугольного треугольника, то получается, что первым катетом такого треугольника является высота, вторым — радиус круга, лежащего в основании, а гипотенузой будет образующая конуса. Нетрудно догадаться, что для расчета длины образующей пригодится теорема Пифагора. А теперь подробнее о том, как найти длину образующей конуса.

Находим образующую

Легче всего понять, как найти образующую, можно на конкретном примере. Допустим, даны такие условия задачи: высота равна 9 см., диаметр круга основания составляет 18 см. Необходимо найти образующую.

Итак, высота конуса (9 см.) - это один из катетов прямоугольного треугольника, с помощью которого был образован данный конус. Второй катет будет являться радиусом круга основания. Радиус — это половина диаметра. Таким образом, делим данный нам диаметр пополам и получаем длину радиуса: 18:2 = 9. Радиус равен 9.

Теперь найти образующую конуса очень легко. Так как она является гипотенузой, то квадрат ее длины будет равен сумме квадратов катетов, то есть сумме квадратов радиуса и высоты. Итак, квадрат длины образующей = 64 (квадрат длины радиуса) + 64 (квадрат длины высоты) = 64x2 = 128. Теперь извлекаем квадратный корень из 128. В итоге получаем восемь корней из двух. Это и будет образующая конуса.

Как видите, ничего сложного в этом нет. Для примера мы взяли простые условия задачи, однако в школьном курсе они могут быть и сложнее. Помните, что для расчета длины образующей вам нужно выяснить радиус круга и высоту конуса. Зная эти данные, найти длину образующей легко.

Конус (с греческого «konos») – сосновая шишка. Конус знаком людям с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга «О методе», написанная Архимедом (287-212 гг. до н. э.), в этой книге дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед говорит, что это открытие принадлежит древнегреческому философу Демокриту (470-380 гг. до н.э.), который с помощью данного принципа получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Конус (круговой конус) – тело, которое состоит из круга – основание конуса, точки, не принадлежащей плоскости этого круга, – вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса и точки окружности основания. Отрезки, которые соединяют вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Конус называется прямым, если прямая, которая соединяет вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. Прямой круговой конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведённому через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усечённым конусом.

Объём конуса равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле:

S бок = πRl,

Площадь полной поверхности конуса находится по формуле:

S кон = πRl + πR 2 ,

где R – радиус основания, l – длина образующей.

Объём кругового конуса равен

V = 1/3 πR 2 H,

где R – радиус основания, Н – высота конуса

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S бок = π(R + r)l,

Площадь полной поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S кон = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, l – длина образующей.

Объём усечённого конуса можно найти следующим образом:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, Н – высота конуса.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле:

S бок = πRl,

Площадь полной поверхности конуса находится по формуле:

S кон = πRl + πR 2 ,

где R – радиус основания, l – длина образующей.

Объём кругового конуса равен

V = 1/3 πR 2 H,

где R – радиус основания, Н – высота конуса

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S бок = π(R + r)l,

Площадь полной поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S кон = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, l – длина образующей.

Объём усечённого конуса можно найти следующим образом:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, Н – высота конуса.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга - основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,- вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания (рис. 1) Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими, конуса. Все образующие конуса равны друг другу. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.
Рис. 1
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси (рис.2).
Рис. 2
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 3). В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса (рис. 4).
Рис. 3 Рис. 4

Площадь поверхности конуса
Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих (рис. 2,а,б). Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор (рис. 2,6), радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора - длине окружности основания конуса.
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь Sбок боковой поверхности конуса через его образующую l и радиус основания r.
Площадь кругового сектора - развертки боковой поверхности конуса (рис.2) - равна (Пl2а)/360, где а - градусная мера дуги ABA", поэтому
Sбок = (Пl2а)/360. (*)
Выразим а через l и r. Так как длина дуги ABA" равна 2Пr (длине окружности основания конуса), то 2Пr = Пlа/180, откуда a=360r/l. Подставив это выражение в формулу (*), получим:
Sбок = Пrl. (**)
Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.
Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади Sкон полной поверхности конуса получается формула: Sкон = Пr (l + r). (***)

Усеченный конус
Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры, - высотой усеченного конуса.

Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу (докажите это самостоятельно).
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую: Sбок = П (r + r1) l.

Дополнительная информация о конусе
1. В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.
2. В биологии есть понятие «конус нарастания». Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.
3. «Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2–16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.
4. По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1 млн. жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса. Некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения.
5. В физике встречается понятие «телесный угол». Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.

Который исходит из одной точки (вершина конуса) и которые проходят через плоскую поверхность.

Бывает, конусом называется часть тела, которая имеет ограниченный объём и которая получена путем объединения каждого отрезка, которые соединяют вершину и точки плоской поверхности. Последняя, в таком случае, является основанием конуса , а конус называется опирающимся на данное основание.

Когда основание конуса является многоугольником - это уже пирамида .

Круговой конус - это тело, состоящее из круга (основание конуса), точки, которая не лежит в плоскости этого круга (вершина конуса и всех отрезков , которые соединяют вершину конуса с точками основания).

Отрезки, которые соединяют вершину конуса и точки окружности основания, называют образующими конуса . Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности правильной n -угольной пирамиды, вписанной в конус:

S n =½P n l n ,

где P n - периметр основания пирамиды, а l n - апофема.

По тому же принципу: для площади боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований R 1 , R 2 и образующей l получаем такую формулу:

S=(R 1 +R 2)l .

Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом:

Свойства конуса.

Когда площадь основания имеет предел, значит, объём конуса тоже имеет предел и равен третьей части произведения высоты на площадь основания.

где S — площадь основания, H — высота.

Т.о., каждый конус, который опирается на это основание и имеющие вершину, которая находится на плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, так как их высоты одинаковые.

Центр тяжести каждого конуса с объёмом, имеющим предел, находится на четверти высоты от основания.
Телесный угол при вершине прямого кругового конуса можно выразить такой формулой:

где α — угол раствора конуса.

Площадь боковой поверхности такого конуса, формула:

а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания), формула:

S=πR(l+R),

где R — радиус основания, l — длина образующей.

Объём кругового конуса , формула:

Для усечённого конуса (не только прямого или кругового) объём, формула:

где S 1 и S 2 — площадь верхнего и нижнего оснований,

h и H — расстояния от плоскости верхнего и нижнего основания до вершины.

Пересечение плоскости с прямым круговым конусом - это один из конических сечений.

Категории

Популярное