1 определение градусной меры угла. Градусная мера угла. Определение. Радианная мера угла

Лекция: Величина угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности

Мерой угла называют величину, на которую отклоняется некоторый луч относительно первоначального положения.

Мера угла может измеряться двумя величинами: градусами и радианами, отсюда и название единиц – градусная и радианная мера угла.

Градусная мера угла

Градусная мера дает возможность оценить, какое количество градусов, минут или секунд помещается в тот или иной угол.

Расчет углов в градусах производится с точки зрения того, что полный поворот луча – это 360°. Половина поворота 180° - развернутый угол, четверть – 90° - прямой угол и т.д.

А теперь давайте же разберемся, что такое радианная мера угла. Как известно из физики, существуют дополнительные единицы. Например, для измерения температуры основной единицей являются Кельвины, а дополнительной градусы Цельсия. Для измерения длины мы используем метры, а англичане используют футы. Данный список можно продолжать и далее. Смысл в том, чтобы Вы поняли, что, кроме градусной меры измерения угла, существует радианная мера, которая так же имеет право на существование.

Для определения радианной меры угла используют окружность. Считается, что радианная мера – это длина дуги окружности, описанная центральным углом.

Напомним, что центральный угол – это угол, вершина которого находится в центре окружности, а лучи опираются на некоторую дугу.

Итак, угол в 1 рад имеет градусную меру в 57,3°. Радианная мера угла описывается либо натуральными числами, или же с использованием числа π ≈ 3,14.

Для геометрии удобнее использовать градусную меру угла, однако для тригонометрии используют радианную меру.

Как найти градусную меру угла?

Для многих в школе геометрия - это настоящее испытание. Одной из базовых геометрических фигур является угол. Под этим понятием подразумевают два луча, которые берут начало в одной точке. Для измерения значения (величины) угла используют градусы или радианы. Как найти градусную меру угла, вы узнаете из нашей статьи.

Виды углов

Допустим, у нас есть угол. Если мы его разложим в прямую, тогда его величина будет равняться 180 градусам. Такой угол называют развернутым, а одним градусом считают 1/180 его часть.

Кроме развернутого угла различают еще острые (меньше 90 градусов), тупые (больше 90 градусов) и прямые (равные 90 градусам) углы. Эти термины используют для характеристики величины градусной меры угла.

Измерение угла

Величину угла измеряют с помощью транспортира. Это специальный прибор, на котором полукруг уже разбит на 180 частей. Приложите транспортир к углу так, чтобы одна из сторон угла совпадала с нижней частью транспортира. Второй луч должен пересекать дугу транспортира. Если этого не происходит, уберите транспортир и с помощью линейки удлините луч. Если угол «открывается» вправо от вершины, считывают его значение по верхней шкале, если влево - по нижней.

В системе СИ принято измерять величину угла в радианах, а не в градусах. В развернутом угле помещается всего 3,14 радиана, поэтому эта величина неудобна и на практике почти не применяется. Именно поэтому необходимо знать, как перевести радианы в градусы. Для этого существует формула:

• Градусы = радианы/π х 180

Например, величина угла равняется 1,6 радиана. Переводим в градусы: 1,6/3,14 * 180 = 92

Свойства углов

Теперь вы знаете, как измерять и пересчитывать градусные меры углов. Но для решения задач необходимо еще знать свойства углов. На сегодняшний день сформулированы следующие аксиомы:

• Любой угол можно выразить в градусной мере, большей нуля. Величина развернутого угла - 360.
• Если угол состоит из нескольких углов, то его градусная мера равняется сумме всех углов.
• В заданную полуплоскость от любого луча можно построить угол заданной величины, меньший 180 градусов, причем только один.
• Величины равных углов одинаковы.
• Чтобы сложить два угла, надо сложить их величины.

Понимание этих правил и умение измерять углы - ключ к успешному изучению геометрии.

Углы измеряют в разных единицах измерениях. Это могут быть градусы, радианы. Чаще всего углы измеряют в градусах. (Не следует путать этот градус с мерой измерения температуры, где также используется слово «градус).

1 градус - это угол, который равен 1/180 части развернутого угла. Другими словами, если взять развернутый угол и поделить его на 180 равных между собой частей-углов, то каждый такой маленький угол будет равен 1 градусу. Размер всех других углов определяется тем, сколько таких маленьких углов можно внутри измеряемого угла уложить.

Обозначается градус знаком °. Это не ноль и не буква О. Это такой специальный, введенный для обозначения градуса, символ.

Таким образом, развернутый угол равен 180°, прямой угол равен 90°, острые углы имеют размер меньший, чем 90°, а тупые - больший, чем 90°.

В метрической системой для измерения расстояния используется метр. Однако используются и более крупные и мелкие единицы. Например, сантиметр, миллиметр, километр, дециметр. По аналогии с этим в градусной мере углов также выделяют минуты и секунды.

Одна градусная минута равна 1/60 градуса. Обозначается она одним знаком ".

Одна градусная секунда равна 1/60 минуты или 1/3600 градуса. Обозначается секунда двумя знаками ", то есть "".

В школьной геометрии градусные минуты и секунды используются редко, однако надо уметь понимать, например, такую запись: 35°21"45"". Это значит, что угол равен 35 градусов + 21 минута + 45 секунд.

С другой стороны, если угол нельзя измерить точно лишь в целых градусах, то не обязательно вводить минуты и секунды. Достаточно использовать дробные значения градуса. Например, 96,5°.

Понятно, что минуты и секунды можно перевести в градусы, выразив их в долях градуса. Например, 30" равно (30/60)° или 0,5°. А 0,3° равно (0,3 * 60)" или 18". Таким образом, использование минут и секунд - это лишь вопрос удобства.

Основные понятия

В рамках вопроса измерения углов, в данном разделе рассмотрим несколько понятий, относящихся к начальным геометрическим сведениям:

• угол;
• развёрнутый и неразвёрнутый угол;
• градус, минута и секунда;
• градусная мера угла;
• прямой, острый и тупой углы.

Углом называют такую геометрическую фигуру, которая представляет собой точку (вершину) и исходящие из неё два луча (стороны). Угол называют развёрнутым, если оба луча лежат на одной прямой.

Благодаря градусной мере угла можно произвести измерение углов. Измерение углов проводится аналогично измерению отрезков. Так же, как и при измерении отрезков, при измерении углов используется специальная единица измерения. Чаще всего это градус.

Определение 1

Градус - это единица измерения. В геометрии он представляет собой угол, с которым сравнивают другие углы. Градус равен $\frac{1}{180}$ от развёрнутого угла.

Теперь можно дать определение градусной мере угла.

Определение 2

Градусная мера угла - это такое положительное число, которое обозначает, сколько раз градус помещается в данном угле.

Для измерения углов используют транспортир.

Пример записи градусной меры: $\angle ABC = 150^{\circ}$. На рисунке эта запись означает следующее:

В устной форме говорят так: "Угол АВС равен 150 градусам".

Некоторые части градуса имеют свои специальные названия. Минутой называют $\frac{1}{60}$ часть градуса, для обозначения используется знак $"$. Секундой называют $\frac{1}{60}$ часть минуты, для обозначения используют $""$. Пример записи угла в 75 градусов, 45 минут и 28 секунд: $75^{\circ}45"28""$.

Равными называют те углы, у которых градусные меры равны. Соответственно, углы можно сравнивать, говоря, что один угол меньше другого или один угол больше другого.

Выше было дано определение развернутому углу. Владея понятием градусной меры, мы можем описать разницу между развернутым и неразвернутым углом. Развернутый угол всегда равен $180^{\circ}$. Неразвернутый угол - это любой угол меньше $180^{\circ}$.

Различают прямой, острый и тупой углы. Прямой угол равен $90^{\circ}$, острый - меньше $90^{\circ}$, тупой - больше $90^{\circ}$ и меньше $180^{\circ}$.

Рисунок 4. Прямой, острый и тупой углы. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ

В повседневной жизни есть примеры необходимости и важности умения измерять углы и понимать градусную меру. Измерение углов необходимо в различных исследованиях, в том числе в астрономии при определении положения небесных тел.

Для практики, попробуйте начертить хотя бы три неразвёрнутых угла и один развёрнутый разными способами, измерьте с помощью транспортира углы и запишите эти результаты. Можно задать случайные числа и попрактиковаться в точности черчения углов с помощью транспортира, деления их с помощью биссектрисы (биссектриса - это луч, исходящий из вершины данного угла и делящий угол пополам).

Примеры задач

Пример 1

Задача . Есть рисунок:

Лучи $DE$ и $DF$ - биссектрисы соответствующих углов $ADB$ и $BDC$. Требуется найти угол $ADC$, если $\angle EDF = 75^{\circ}$.

Решение . Так как угол $EDF$ содержит по половинке от каждого угла $ADB$ и $BDC$, то можем сделать вывод, что $EDF$ - это ровно половина самого угла $ADC$. Получаем простые вычисления: $\angle ADC=75\cdot 2=150^{\circ}$.

Ответ : $150^{\circ}$.

Приведём ещё один интересный пример.

Пример 2

Задача . Дан рисунок.

Угол $ABC$ прямой. Углы $ABE$, $EBD$ и $DBC$ равны. Требуется найти угол, образованный биссектрисами $ABE$ и $DBC$.

Решение . Так как $ABC$ - прямой угол, то, значит, он равен $90^{\circ}$. Угол $\angle EBD=90/3=30^{\circ}$. Так как углы $ABE$, $EBD$ и $DBC$ равны, то любой из них будет равен $30^{\circ}$. Биссектриса любого из этих углов поделит любой из этих углов на два угла, равных $15^{\circ}$. Так как две половины углов $ABE$ и $DBC$ принадлежат искомому углу, то мы можем утверждать, что искомый угол равен $30+15+15=60^{\circ}$.

Ответ . $60^{\circ}$

В данной статье мы раскрыли полностью вопрос о градусной мере угла и как измерять углы.

Угол – основная геометрическая фигура, которую разберем на протяжение всей темы. Определения, способы задания, обозначения и измерения угла. Разберем принципы выделения углов на чертежах. Вся теория проиллюстрирована и имеет большое количество наглядных чертежей.

Угол – простая важная фигура в геометрии. Угол напрямую зависит от определения луча, который в свою очередь состоит из базовых понятий точки, прямой и плоскости. Для досконального изучения необходимо углубиться по темам прямая на плоскости – необходимые сведения и плоскость – необходимые сведения .

Понятие угла начинается с понятий о точке, плоскости и прямой, изображенной на этой плоскости.

Определение 2

Дана прямая a на плоскости. На ней обозначим некоторую точку O . Прямая разделена точкой на две части, каждая из которых имеет название луч , а точка O – начало луча .

Иначе говоря, луч или полупрямая – это часть прямой, состоящая из точек заданной прямой, расположенных на одной стороне относительно начальной точки, то есть точки O .

Обозначение луча допустимо в двух вариациях: одной строчной или двумя прописными буквами латинского алфавита. При обозначении двумя буквами луч имеет название, состоящее из двух букв. Рассмотрим подробнее на чертеже.

Перейдем к понятию определения угла.

Определение 3

Угол – это фигура, расположенная в заданной плоскости, образованная двумя несовпадающими лучами, имеющими общее начало. Сторона угла является лучом, вершина – общее начало сторон.

Имеет место случай, когда стороны угла могут выступать в роли прямой линии.

Определение 4

Когда обе стороны угла расположены на одной прямой или его стороны служат как дополнительные полупрямые одной прямой, то такой угол называют развернутым .

На рисунке ниже изображен развернутый угол.

Точка на прямой – это и есть вершина угла. Чаще всего имеет место ее обозначение точкой O .

Угол в математике обозначается знаком « ∠ ». Когда стороны угла обозначают малыми латинскими, то для правильного определения угла записываются подряд буквы соответственно сторонам. Если две стороны имеют обозначение k и h , то угол обозначается как ∠ k h или ∠ h k .

Когда идет обозначение большими буквами, то соответственно стороны угла имеют названия O A и O B . В таком случае угол имеет название из трех букв латинского алфавита, записанные подряд, в центре с вершиной - ∠ A O B и ∠ B O A . Существует обозначение в виде цифр, когда углы не имеют названий или буквенных обозначений. Ниже приведен рисунок, где разными способами обозначаются углы.

Угол делит плоскость на две части. В случае, если угол не развернутый, тогда одна часть плоскости имеет название внутренняя область угла , другая – внешняя область угла . Ниже приведено изображение, объясняющее, какие части плоскости внешние, а какие внутренние.

При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.

Внутренняя область угла – элемент, служащий для второго определения угла.

Определение 5

Углом называют геометрическую фигуру, состоящая из двух несовпадающих лучей, имеющих общее начало и соответствующую внутреннюю область угла.

Данное определение является более строгим, чем предыдущее, так как имеет больше условий. Оба определения не желательно рассматривать отдельно, потому как угол – это геометрическая фигура, преобразованная при помощи двух лучей, выходящих из одной точки. Когда необходимо выполнять действия с углом, то под определением понимают наличие двух лучей с общим началом и внутренней областью.

Два угла называют смежными , если имеется общая сторона, а две другие являются дополнительными полупрямыми или образуют развернутый угол.

На рисунке видно, что смежные углы дополняют друг друга, так как являются продолжением один другого.

Определение 7

Два угла называют вертикальными , если стороны одного являются дополнительными полупрямыми другого или являются продолжениями сторон другого. На рисунке ниже показано изображение вертикальных углов.

При пересечении прямых получается 4 пары смежных и 2 пары вертикальных углов. Ниже показано на рисунке.

Статья показывает определения равных и неравных углов. Разберем какой угол считается большим, какой меньшим и другие свойства угла. Две фигуры считаются равными, если при наложении они полностью совпадают. Такое же свойство применимо для сравнения углов.

Даны два угла. Необходимо прийти к выводу, равные эти углы или нет.

Известно, что имеет место наложение вершин двух углов и стороны первого угла с любой другой стороной второго. То есть при полном совпадении при наложении углов стороны заданных углов совместятся полностью, углы равные .

Может быть так, что при наложении стороны могут не совместиться, то углы неравные, меньший из которых состоит из другого, а больший имеет в своем составе полный другой угол. Ниже изображены неравные углы, не совмещенные при наложении.

Развернутые углы являются равными.

Измерение углов начинается с измерения стороны измеряемого угла и его внутренней области, заполняя которую единичными углами, прикладывают друг к другу. Необходимо посчитать количество уложенных углов, они и предопределяют меру измеряемого угла.

Единица измерения угла может быть выражена любым измеряемым углом. Имеются общепринятые единицы измерения, которые применяют в науке и технике. Они специализируются на других названиях.

Чаще всего используют понятие градус .

Определение 8

Один градус называют углом, который имеет одну сто восьмидесятую часть развернутого угла.

Стандартное обозначение градуса идет при помощи « ° », тогда один градус – 1 ° . Следовательно, развернутый угол состоит из 180 таких углов, состоящих из одного градуса. Все имеющиеся углы плотно уложены друг к другу и стороны предыдущего совмещены с последующим.

Известно, что количество положенных градусов в угле, это и есть та самая мера угла. Развернутый угол имеет 180 уложенных углов в своем составе. Ниже на рисунке приводятся примеры, где уложение угла идет в 30 раз, то есть одна шестая развернутого, и 90 раз, то есть половина.

Для точности определения измерения углов используются минуты и секунды. Их применяют, когда величина угла не является целым обозначением градуса. Такие части градуса позволяют выполнять более точные расчеты.

Определение 9

Минутой называют одну шестидесятую часть градуса.

Определение 10

Секундой называют одну шестидесятую часть минуты.

Градус содержит 3600 секунд. Минуты обозначают « " », а секунды « "" ». Имеет место обозначение:

1 ° = 60 " = 3600 "" , 1 " = (1 60) ° , 1 " = 60 "" , 1 "" = (1 60) " = (1 3600) ° ,

а обозначение угла 17 градусов 3 минут и 59 секунд имеет вид 17 ° 3 " 59 "" .

Определение 11

Приведем пример обозначения градусной меры угла равного 17 ° 3 " 59 "" . Запись имеет еще один вид 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600 .

Для точного измерения углов используют такой измерительный прибор, как транспортир. При обозначении угла ∠ A O B и его градусной мере в 110 градусов применяют более удобную запись ∠ A O B = 110 ° , которая читается «Угол А О В равен 110 градусам».

В геометрии используется мера угла из интервала (0 , 180 ] , а в тригонометрии произвольная градусная мера имеет название углов поворота. Значение углов всегда выражается действительным числом. Прямой угол – это угол, имеющий 90 градусов. Острый угол – угол, который меньше 90 градусов, а тупой – больше.

Острый угол измеряется в интервале (0 , 90) , а тупой – (90 , 180) . Ниже наглядно изображены три вида углов.

Любая градусная мера любого угла имеет одинаковое значение. Больший угол соответственно имеет большую градусную меру, чем меньший. Градусная мера одного угла – это сумма всех имеющихся градусных мер внутренних углов. Ниже приведен рисунок, где показан угол АОВ, состоящий из углов АОС, СОD и DОВ. Подробно это выглядит так: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 ° .

Исходя из этого, можно сделать вывод, что сумма всех смежных углов равна 180 градусам, потому что они все и составляют развернутый угол.

Отсюда следует, что любые вертикальные углы равны . Если рассмотреть это на примере, мы получим, что угол А О В и С О D – вертикальные (на чертеже), тогда пары углов А О В и В О С, С О D и В О С считают смежными. В таком случает равенство ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° вместе с ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° считаются однозначно верными. Отсюда имеем, что ∠ A O B = ∠ C O D . Ниже приводится пример изображения и обозначения вертикальных улов.

Кроме градусов, минут и секунд используется еще одна единица измерения. Она называется радианом . Чаще всего ее можно встретить в тригонометрии при обозначении углов многоугольников. Что же называют радианом.

Определение 12

Углом в один радиан называют центральный угол, который имеет длину радиуса окружности равную длине дуги.

На рисунке радиан изображается в виде окружности, где имеется центр, обозначенный точкой, с двумя точками на окружности, соединенными и преобразованными в радиусы О А и О В. По определению данный треугольник A O B является равносторонним, значит длина дуги A B равна длинам радиусов О В и О А.

Обозначение угла принимается за «рад». То есть запись в 5 радиан сокращенно обозначается как 5 рад. Иногда можно встретить обозначение, имеющее название пи. Радианы не имеют зависимости от длины заданной окружности, так как фигуры имеют некое ограничение при помощи угла и его дугой с центром, находящимся в вершине заданного угла. Они считаются подобными.

Радианы имеют такой же смысл, как и градусы, только разница в их величине. Чтобы это определить, необходимо вычисленную длину дуги центрального угла поделить на длину ее радиуса.

На практике используют перевод градусов в радианы и радианы в градусы для более удобного решения задач. Указанная статья имеет информацию о связи градусной меры с радианной, где можно подробно изучить переводы из градусной в радианную и обратно.

Для наглядного и удобного изображения дуг, углов используют чертежи. Не всегда можно правильно изобразить и отметить тот или иной угол, дугу или название. Равные углы имеют обозначение в виде одинакового количества дуг, а неравные в виде разного. На чертеже изображено правильное обозначение острых, равных и неравных углов.

Когда необходимо отметить более 3 углов, используются специальные обозначения дуг, например, волнистые или зубчатые. Это не имеет столь важное значение. Ниже приведен рисунок, где показано их обозначение.

Обозначение углов должны быть простыми, чтобы не мешали другим значениям. При решении задачи рекомендовано выделять только необходимые для решения углы, чтобы не загромождать весь чертеж. Это не помешает решению и доказательству, а также придаст эстетичный вид рисунку.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter