Характеристики положения описывают центр распределения. В то же время значения вариант могут группироваться вокруг него как в широкой, так и в узкой полосе. Поэтому для описания распределения необходимо охарактеризовать диапазон изменения значений признака. Для описания диапазона варьирования признака используются характеристики рассеяния. Наиболее широкое применение нашли размах вариации, дисперсия, стандартное отклонение и коэффициент вариации.

Размах вариации определяется как разность между максимальным и минимальным значением признака в изучаемой совокупности:

R =x max -x min .

Очевидным достоинством рассматриваемого показателя является простота расчета. Однако поскольку размах вариации зависит от величин только крайних значений признака, то область его применения ограничена достаточно однородными распределениями. В остальных случаях информативность этого показателя весьма невелика, поскольку существует очень много распределений, сильно отличающихся по форме, но имеющих одинаковый размах. В практических исследованиях размах вариации используется иногда при малых (не более 10) объемах выборки. Так, например, по размаху вариации легко оценить, насколько различаются лучший и худший результаты в группе спортсменов.

В рассматриваемом примере:

R =16,36 – 13,04=3,32 (м).

Второй характеристикой рассеяния является дисперсия. Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонения значения случайной величины от ее среднего значения. Дисперсия есть характеристика рассеяния, разбросанности значений величины около ее среднего значения. Само слово «дисперсия» означает «рассеяние».

При проведении выборочных исследований необходимо установить оценку для дисперсии. Дисперсия, вычисляемая по выборочным данным, называется выборочной дисперсией и обозначается S 2 .

На первый взгляд наиболее естественной оценкой для дисперсии является статистическая дисперсия, вычисленная, исходя из определения, по формуле:

В этой формуле - сумма квадратов отклонений значений признака х i от среднего арифметиче­ского . Для получения среднего квадрата отклонений эта сумма поделена на объем выборки п .

Однако такая оценка не является несмещенной. Можно показать, что сумма квадратов отклонений значений признака для выборочного среднего арифметического меньше, чем сумма квадратов отклонений от любой другой величины, в том числе от истинного среднего (математического ожидания). Поэтому результат, получаемый по приведенной выше формуле, будет содержать систематическую ошибку, и оценочное значение дисперсии окажется заниженным. Для ликвидации смещения достаточно ввести поправочный коэффициент . В результате получается следующее соотношение для оценочной дисперсии:

При больших значениях n , естественно, обе оценки - смещенная и несмещенная – будут различаться очень мало и введение поправочного множителя теряет смысл. Как правило, уточнение формулы для оценки дисперсии следует производить при n <30.

В случае сгруппированных данных последнюю формулу для упрощения вычислений можно привести к следующему виду:

где k - число интервалов группировки;

n i - частота интервала c номером i ;

x i - срединное значение интервала c номером i .

В качестве примера проведем вычисление дисперсии для сгруппированных данных разбираемого нами примера (см. табл. 4.):

S 2 =/ 28=0,5473 (м 2).

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата размерности случайной величины, что затрудняет ее интерпретацию и делает не очень наглядной. Для более наглядного описания рассеяния удобнее пользоваться характеристикой, размерность которой совпадает с размерностью исследуемого признака. С этой целью вводится понятие стандартного отклонения (или среднего квадратического отклонения ).

Стандартным отклонением называется положительный корень квадратный из дисперсии:

В разбираемом нами примере стандартное отклонение равно

Стандартное отклонение имеет те же единицы измерения, что и результаты измерения исследуемого признака и, таким образом, оно характеризует степень отклонения признака от среднего арифметического. Иными словами, оно показывает, как расположена основная часть вариант относительно среднего арифметического.

Стандартное отклонение и дисперсия являются наиболее широко применяемыми показателями вариации. Связано это с тем, что они входят в значительную часть теорем теории вероятностей, служащей фундаментом математической статистики. Помимо этого, дисперсия может быть разложена на составные элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов на вариацию исследуемого признака.

Помимо абсолютных показателей вариации, которыми являются дисперсия и стандартное отклонение, в статистике вводятся относительные. Наиболее часто применяется коэффициент вариации. Коэффициент вариации равен отношению стандартного отклонения к среднему арифметическому, выраженному в процентах:

Из определения ясно, что по своему смыслу коэффициент вариации представляет собой относительную меру рассеяния признака.

Для рассматриваемого примера:

Коэффициент вариации широко используется при проведении статистических исследований. Будучи величиной относительной, он позволяет сравнивать колеблемости как признаков, имеющих различные единицы измерения, так одного и того же признака в нескольких разных совокупностях с различными значениями среднего арифметического.

Коэффициент вариации используется для характеристики однородности полученных экспериментальных данных. В практике физической культуры и спорта разброс результатов измерений в зависимости от значения коэффициента вариации принято считать небольшим (V<10%), средним (11-20%) и большим (V> 20%).

Ограничения на использование коэффициента вариации связаны с его относительным характером – определение содержит нормировку на среднее арифметическое. В связи с этим при малых абсолютных значениях среднего арифметического коэффициент вариации может потерять свою информативность. Чем ближе значение среднего арифметического к нулю, тем менее информативным становится этот показатель. В предельном случае среднее арифметическое обращается в ноль (например, температура) и коэффициент вариации обращается в бесконечность независимо от разброса признака. По аналогии со случаем погрешности можно сформулировать следующее правило. Если значение среднего арифметического в выборке больше единицы, то использование коэффициента вариации правомерно, в противном случае для описания разброса опытных данных следует использовать дисперсию и стандартное отклонение.

В заключение этой части рассмотрим оценку варьирования значений оценочных характеристик. Как уже было отмечено, значения характеристик распределения, рассчитанные по данным эксперимента, не совпадают с их истинными значениями для генеральной совокупности. Точно установить последние не представляется возможным, поскольку, как правило, невозможно обследовать всю генеральную совокупность. Если использовать для оценки параметров распределения результаты разных выборок из одной и той же генеральной совокупности, то окажется, что эти оценки для разных выборок отличаются друг от друга. Оценочные значения флуктуируют около своих истинных значений.

Отклонения оценок генеральных параметров от истинных значений этих параметров называются статистическими ошибками. Причиной их возникновения является ограниченный объем выборки - не все объекты генеральной совокупности входят в нее. Для оценки величины статистических ошибок используется стандартное отклонение выборочных характеристик.

В качестве примера рассмотрим наиболее важную характеристику положения - среднее арифметическое. Можно показать, что стандартное отклонение среднего арифметического определяется соотношением:

где σ - стандартное отклонение для генеральной совокупности.

Поскольку истинное значение стандартного отклонения не известно, то для оценки стандартного отклонения выборочного среднего используется величина, называемая стандартной ошибкой среднего арифметического и равная:

Величина характеризует ошибку, которая в среднем допускается при замене генерального среднего его выборочной оценкой. Согласно формуле, увеличение объема выборки при проведении исследования приводит к уменьшению стандартной ошибки пропорционально корню квадратному из объема выборки.

Для рассматриваемого примера значение стандартной ошибки среднего арифметического равно . В нашем случае она оказалась в 5,4 раза меньше значения стандартного отклонения.

Наряду с наиболее вероятным значением риска важное значение имеет разброс возможных значений риска относительно его центрального значения. Учет разброса показателей необходим и при решении задач социально-гигиенического мониторинга.

Наиболее распространенными характеристиками разброса случайной величины являются дисперсия и среднеквадратичное отклонение.

Дисперсия случайной величины ξ обозначаемая как D (ξ) (используются также обозначения V (ξ) и σ 2 (ξ)), характеризует наиболее вероятное значение квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания.

Для дискретной случайной величины, принимающей значения х i с вероятностями р i , дисперсия определяется как взвешенная сумма нитратов отклонений х i от математического ожидания ξ с весовыми коэффициентами, равными соответствующим вероятностям:

D(ξ) =

Для непрерывной случайной величины ξ ее дисперсия определяется по формуле:

D(ξ) =

Дисперсия обладает следующими практически важными свойствами:

1.Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:

D(ξ) ≥ 0

2. Дисперсия постоянной величины равна 0:

D(C) = 0

где С - константа.

3. Дисперсия случайной величины ξ равна разности между математическим ожиданием квадрата этой случайной величины и квадратом математического ожидания ξ:

D(ξ) = M [ξ – M (ξ)] 2 = M(ξ 2) – ( .

4. Прибавление константы к случайной величине не изменяет дисперсии; умножение случайной величины на константу а приводит к умножению дисперсии на а 2 :

D(aξ + b) = a 2 D(ξ),

где а и b - константы.

5. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

где ξ и η - независимые случайные величины.

Среднеквадратичным отклонением случайной величины ξ (используются также термин «стандартное отклонение») называется число σ (ξ) равное квадратному корню из дисперсии ξ:

Среднеквадратичное отклонение измеряет отклонение случайной нвеличины от ее математического ожидания в тех же величинах, в которых измеряется сама случайная величина (в отличие от дисперсии, размерность которой равна квадрату размерности исходной случайной величины). Для нормального распределения среднеквадратичное отклонение равно параметру σ. Таким образом, математическое ожидание и стандартное отклонение представляют собой полный набор характеристик нормального распределения и однозначно определяют вид плотности распределения. Для распределений, отличающихся от нормального, эта пара показателей не является столь же эффективной характеристикой распределения.

В качестве характеристики рассеяния случайной величины используется также коэффициент вариации. Коэффициентом вариации случайной величины ξ имеющей ненулевое математическое ожидание, называется число V (ξ) равное отношению среднеквадратичного отклонения ξ к ее математическому ожиданию:

Коэффициент вариации измеряет рассеяние случайной величины в долях ее математического ожидания и часто выражается в процентах от последнего. Этой характеристикой не следует пользоваться, если математическое ожидание близко к 0 или существенно меньше стандартного отклонения (в этом случае малые ошибки при определении математического ожидания приводят к высокой погрешности для коэффициента вариации), а также, если вид плотности распределении существенно отличается от гауссовского.

Коэффициент асимметрии (As ) определяет 3-ю степень отклонении случайной величины от математического ожидания и определяется по формуле:

На практике этот показатель используется в качестве оценки симметричности распределения. Для любого симметричного распределения он равен 0. Если же плотность распределения несимметрична (что часто может иметь место при оценке риска смерти и рисков, связанных с загрязнением воды и воздуха), то положительный коэффициент асимметрии соответствует случаю, когда левое плечо кривой плотности круче правого, а отрицательный - случаю, когда правое плечо круче левого (рис 4.17).

Для асимметричных распределений стандартное отклонение не является хорошим показателем рассеяния случайной величины. Для характеристики рассеяния в этом случае можно использовать такие показатели, как квартили, квантили и процентили.

Первой квартилью случайной величины ξ, имеющей функцию распределения F(х), называется число Q 1 являющееся решением уравнения

F(Q 1) = 1/4

т. е. такое число, для которого вероятность того, что ξ принимает значения, меньшие Q 1 , равна 1/4, вероятность того, что она принимает значения, большие Q 1 равна 3/4.

Второй квартилью (Q 2 ) случайной величины называется ее медиана, а третьей (Q 3 ) - решение уравнения

F(Q 3) = 3/4

Квартили делят ось абсцисс на 4 интервала: [-∞,Q 1 ], [Q 1 , Q 2 ], [Q 2 , Q 3 ] и [Q 3 , + ∞] в каждый из которых случайная величина попадает c равной вероятностью, а фигуру, ограниченную осью абсцисс и графиком плотности распределения - на 4 области с одинаковой площадью. И интервале между первой и третьей квартилями сосредоточено 50% распределения случайной величины. Для симметричных распределений первая и третья квартили одинаково удалены от медианы.

Квантилью порядка р случайной величины ξ с функцией распределения F(х) называется число х , являющееся решением уравнения

Таким образом, квартили являются квантилями порядка 0,25, 0,5 и 0,75. Если порядок квантили р выражается в процентах, то соответствующие значения х называются процентилями, или р -процентными точками распределения.

На рис. 4.18 показаны, наряду с квантилями, 2,5- и 97,5-процентные точки распределения. Между этими точками сосредоточено 95% распределения случайной величины, поэтому заключенный между ними интервал называют 95 %-м доверительным интервалом среднего (в частности, при оценке рисков - 95 %-м доверительным интервалом риска).

Задача 2. Какие из перечисленных ниже сведений о случайной величине ξ позволяют отвергнуть предположение о том, что она распределена по нормальному закону:

а) ξ - дискретная случайная величина;

б) математическое ожидание ξ отрицательно;

в) распределение ξ унимодально;

г) математическое ожидание ξ не равно ее медиане;

д) коэффициент асимметрии ξ отрицателен;

е) стандартное отклонение ξ больше ее математического ожидания;

ж) ξ характеризует распределение продолжительности острых заболеваний органов дыхания на исследуемой территории;

з) ξ характеризует распределение продолжительности жизни на исследуемой территории;

и) медиана ξ не совпадает с центром интервала между первой и третьей квартилями.

Ответ: Предположение о нормальном законе распределения случайной величины несовместимо с утверждениями а), г), д), з), и).

Рис. 4.17. Зависимость между знаком Рис.4.18. Квартили и процентили:

коэффициента асимметрии и формой иллюстрация с помощью функции

функции плотности распределения

Характеристики рассеяния

Меры разброса выборки.

Минимум и максимум выборки - это соответственно наименьшее и наибольшее значение изучаемой переменной. Разность между максимумом и минимумом называется размахом выборки. Все данные выборки расположены в промежутке между минимумом и максимумом. Эти показатели как бы очерчивают границы выборки.

R№1= 15,6-10=5,6

R №2 =0,85-0,6=0,25

Дисперсия выборки (англ. variance ) и среднее квадратическое отклонение выборки (англ. standard deviation ) являют собой меру изменчивости переменной и характеризуют степень разброса данных вокруг центра. При этом среднее квадратическое отклонение является более удобным показателем в силу того, что имеет ту же размерность, что и собственно исследуемые данные. Поэтому показатель среднего квадратического отклонения используется наряду со значением среднего арифметического выборки для короткого описания результатов анализа данных.

Выборочную дисперсию при целесообразнее считать по формуле:

Стандартное отклонение считается по формуле:

Коэффициент вариации является относительной мерой рассеяния признака.

Коэффициент вариации используется и как показатель однородности выборочных наблюдений. Считается, что если коэффициент вариации не превышает 10 %, то выборку можно считать однородной, т. е. полученной из одной генеральной совокупности.

Т. к. коэффициент вариации в обеих выборках, то они являются однородными.

Выборку можно представить аналитически в виде функции распределения, а так же в виде таблицы частот, состоящей из двух строк. В верхней строке- элементы выборки (варианты), расположенные в порядке возрастания; в нижней строке записываются частоты вариант.

Частота варианты - число, равное количеству повторений данной варианты в выборке.

Выборка №1 «Матери»

Вид кривой распределения

Асимметрия или коэффициент асимметрии (термин был впервые введен Пирсоном, 1895) является мерой несимметричности распределения. Если асимметрия отчетливо отличается от 0, распределение асимметричное, плотность нормального распределения симметрична относительно среднего.

Показатель асимметрии (англ. skewness ) используется для того, чтобы охарактеризовать степень симметричности распределения данных вокруг центра. Асимметрия может принимать как отрицательные, так и положительные значения. Положительное значение данного параметра указывает на то, что данные смещены влево от центра, отрицательное - вправо. Таким образом, знак показателя асимметрии указывает на направление смещения данных, тогда как величина - на степень этого смещения. Асимметрия равная нулю говорит о том, что данные симметрично сконцентрированы вокруг центра.

Т.к. асимметрия положительная, следовательно, вершина кривой сдвигается влево от центра.

Коэффициент эксцесса (англ. kurtosis ) является характеристикой того, насколько кучно основная масса данных группируется около центра.

При положительном эксцессе - кривая заостряется, при отрицательном - сглаживается.

Кривая сглаживается;

Кривая заостряется.

ЭФФЕКТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ (ПЛОЩАДЬ) РАССЕЯНИЯ - характеристика отражающей способности цели, выражаемая отношением мощности эл. магн. энергии, отражаемой целью в направлении приёмника, к поверхностной плотности потока энергии, падающей на цель. Зависит от… … Энциклопедия РВСН

Квантовая механика … Википедия

- (ЭПР) характеристика отражающей способности цели, облучаемой электромагнитными волнами. Значение ЭПР определяется как отношение потока (мощности) электромагнитной энергии, отражаемой целью в направлении радиоэлектронного средства (РЭС), к… … Морской словарь

полоса рассеяния - Статистическая характеристика экспериментальных данных, отражающая их отклонение от средних значения. Тематики металлургия в целом EN desperal band … Справочник технического переводчика

- (функция передачи модуляции), ф ция, с помощью к рой оценивают «резкостные» св ва изображающих оптич. систем и отд. элементов таких систем. Ч. к. х. есть преобразование Фурье т. н. функции рассеяния линии, описывающей характер «расплывания»… … Физическая энциклопедия

Функция передачи модуляции, функция, с помощью которой оценивают «резкостные» свойства изображающих оптических систем и отдельных элементов таких систем (см., например, Резкость фотографического изображения). Ч. к. х. есть Фурье… …

полоса рассеяния - статистическая характеристика экспериментальных данных, отражающая их отклонение от среднего значения. Смотри также: Полоса полоса скольжения полоса сброса полоса прокаливаемости … Энциклопедический словарь по металлургии

ПОЛОСА РАССЕЯНИЯ - статистическая характеристика экспериментальных данных, отражающая их отклонение от средних значения … Металлургический словарь

Характеристика рассеяния значений случайной величины. М. т. h связана с квадратичным отклонением (См. Квадратичное отклонение) σ формулой Этот способ измерения рассеяния объясняется тем, что в случае нормального… … Большая советская энциклопедия

ВАРИАЦИОННАЯ СТАТИСТИКА - ВАРИАЦИОННАЯ СТАТИСТИКА, термин, объединяющий группу приемов статистического анализа, применяющихся преимущественно в естественных науках. Во второй половине XIX в. Кетле (Quetelet, «Anthro pometrie ou mesure des differentes facultes de 1… … Большая медицинская энциклопедия

Математическое ожидание - (Population mean) Математическое ожидание – это распределение вероятностей случайной величины Математическое ожидание, определение, математическое ожидание дискретной и непрерывной случайных величин, выборочное, условное матожидание, расчет,… … Энциклопедия инвестора

Вариационный ряд

В генеральной совокупности исследуется некоторый количественный признак. Из нее случайным образом извлекается выборка объема n , то есть число элементов выборки равно n . На первом этапе статистической обработки производят ранжирование выборки, т.е. упорядочивание чисел x1, x2, …, xn по возрастанию. Каждое наблюдаемое значение xi называется вариантой . Частота mi – это число наблюдений значения xi в выборке. Относительная частота (частость) wi – это отношение частоты mi к объему выборки n : wi=mi/n.

При изучении вариационного ряда также используют понятия накопленной частоты и накопленной частости. Пусть x некоторое число. Тогда количество вариантов, значения которых меньше x , называется накопленной частотой: miнак=mi для xi называется накопленной частостью: wiнак=miнак/n.